微分幾何学的にみた微分方程式論 1
微分方程式は難しい
微分方程式は数学だけでなく物理、化学、生物はもちろんのこと、様々な分野で使われている対象です。そのため、微分方程式の解を求めることは大変重要なことですが、実際に解を求めることができる（具体的な解の表示ができる）微分方程式は数えられるほどしかありません。例えば次の微分方程式を考えてみましょう: $$ \frac{dy}{dx} = e^ {x^ 2} $$ この微分方程式は両辺を$ x$で積分することで $$ y = \int e^ {x^ 2} dx $$ となりますが、この右辺は初等関数で表示することができない（多項式関数、三角関数、指数関数およびそれらの四則演算と合成、またそれらを係数とする代数的関数方程式の解として表示できない）ことが示されています。
上のようなシンプルな微分方程式であっても具体的な解の表示ができないため、一般の微分方程式であればそれを解くということは極めて難しいということがわかると思います。
微分幾何学的にみた微分方程式論
微分方程式は数多くの分野で現れ古くから考えられてきた対象であるため、解析的な対象ではあるものの代数学的な手法や幾何学的な手法も駆使され研究がされています。この連載では、特に微分幾何学的に微分方程式を捉える方法について紹介したいと思います。今回は第1回目なので、具体例を通してどのように微分方程式を微分幾何学的に捉えるのかについて説明します。
本題に入る前に、まず区間$I$上で定義される関数$y(x)$に関する次の微分方程式を考えてみましょう: $$ y'(x)=y^ 2 (x) $$ この微分方程式は次のように解くことができます。まず、この微分方程式を$I_ 0:= \{ x \in I\ |\ y(x) \ne 0 \}$上で考えると、両辺を$y(x)^ 2$で割ることで $$ \frac{y'(x) }{ y(x) ^ 2} = 1 $$ を得ます。ここで上の式の両辺を$ x$で積分し整理することで $$ y(x) = -\frac{1}{ x+C} $$ が分かります（ここで$ C$は積分定数です）。ここで、上のような$y(x)$は0を値としてとらないため、$ I_0=I$となり上の$ y(x)$は解であることがわかります（このような解を微分方程式の一般解とよぶのでした。本当は$ y(x)=0$ となる関数も上の微分方程式の特異解とよばれるものになっているのですが、ここでは割愛させていただきます）。
さて、それでは実際に上の議論を微分幾何学的に考えてみます。まず初めに、三次元ユークリッド空間$\mathbb{R} ^3$を考え、そこの座標を$(x,y,y')$としておきます(座標の記号を$y'$と書いていますが、$y'$は$y$の微分ではなく単なる記号であることを注意しておきます)。このとき、次のような$\mathbb{R} ^3$の部分多様体
$$
R:=\{ (x,y,y')\ |\ y'=y^ 2\} \subset \mathbb{R} ^3
$$
を考えます。$R$は次のような曲面になっています:
今回は第1回目ということで、数学的な部分の説明はほとんどできませんでしたが、今後はこのようなテーマについて記事を書いていきたいと思います。次回に関しては、今回登場した部分束$C$についてもう少し詳しく説明する予定なので、興味がある方は見ていただけると嬉しいです。
代数幾何学1: 代数的集合
最近、知り合いと代数幾何学の勉強会を始めたので、理解したことをまとめていきます。 とは言っても始めたばかりなので、今回はアフィン空間内の代数的集合を定義し、いくつかの性質についてまとめたいと思います。 （ここでは体上の多変数多項式環は知っているものとして話を進めていきます。）
代数的集合
$ k$を体とします。（実数体$ \mathbb{R}$や複素数体$ \mathbb{C}$を想定してもらえれば大丈夫です。）
このとき $$ \mathbb{A}^n(k) :=\{ (a_1, \ldots, a_n )\ |\ a_i \in k \} $$ を$ n$次元アフィン空間とよびます。$ k= \mathbb{R}$または$ \mathbb{C}$のときは、$ \mathbb{A}^n(\mathbb{R})=\mathbb{R}^n$、$ \mathbb{A}^n(\mathbb{C})=\mathbb{C}^n $です。
さて、早速$ \mathbb{A}^n(k)$内の代数的集合を定義しましょう。
つまり代数的集合とは、多項式たちの零点として表すことができるような$ \mathbb{A}^n(k)$内の部分集合のことです。 また$ V(S)$については $$ V(S) = \bigcap_{f \in S} V(f) $$ という関係が成り立つことに注意しておきます。これについては定義通りに示せば良いので、ここでは証明を省略します。
以上で今回使う記号および用語の定義が終わったので、ここからはいくつかの具体例を見ていきましょう。
代数的集合の具体例
以下では図を書く都合上、$ k = \mathbb{R} $とします。
(1) 実係数2変数多項式$ f(x,y) = x^{2} + y^{2} -1$に対して
$$ V(x^{2}+y^{2}-1)= \{ (a_1,a_2) \ |\ a_1^{2} + a_2^{2} -1 =0\} $$ を考えます。皆さんご存知の通り、これは原点中心で半径が1の円になります:
(2) 次に3次元アフィン空間内の代数的集合の例を与えます。実係数3変数多項式$ f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}+1$に対して
$$
V(x^{2}+y^{2}-z^{2}+1)= \{ (a_1,a_2,a_3) \ |\ a_1^{2} + a_2^{2} -a_3^{2} =-1\}
$$
を考えます。これは二葉双曲面とよばれ数学の様々な分野で登場する重要な例になります:
この記事では代数的集合の具体例については以上で終わりにしますが、他にも様々なものがあります。興味を持たれた方は、適当な多項式についての代数的集合を計算ソフトなどを使って描画してみると面白いかもしれません。
それでは最後に代数的集合でない例を書いて終わりにしたいと思います。
代数的集合でない例
先ほど「代数的集合とは多項式の零点として表される集合」ということを書いたと思います。そのため、代数的集合でない例を作るためには多項式で表すことができないような関数を考るとよさそうであるということが分かります。ここでは$ y= \sin (x)$のグラフが代数的集合でないことを示します。
(証明) 背理法によります。もし$ X$が代数的集合だったとすると、$ \mathbb{R}[x,y]$の部分集合$ S$が存在して$ X = V(S)$と書かれます。ここで、任意の$ f \in S$について$ f(x, 0) =0$が成り立ったとしましょう。このとき$a \in \mathbb{R}$を任意にとり$ (a, 0) \in \mathbb{A}^2(\mathbb{R})$という点を考えると、任意の$f \in S$に対して$ f(2m \pi,0)=0$を満たします。よって $$ \{(a , 0) \ |\ a \in \mathbb{R} \} \subset V(S) = X $$ となりますが、$X$は$ y= \sin(x)$のグラフであったため上の事実は成り立ちません。よって、任意の$ f \in S$について$f(x,0)=0$とはならないため、$f(x,0) \ne 0$となる$f \in S$が存在します。今そのような$f$を一つ取り固定します。
ここで次の集合 $$ T:= \{ (2m \pi,0) \in \mathbb{A}^2( \mathbb{R})\ |\ m \in \mathbb{Z} \} $$ を考えます。この集合$T$は無限集合であることに注意します。そうすると$X$の定義と代数的集合の性質から $$ T \subset X = V(S) =\bigcap_{g \in S} V(g) \subset V(f) $$ となりますが、これは0でない1変数多項式$f(x,0)$が無限個の零点をもつことになり矛盾します。これにより$X$は代数的集合でないことが証明されました。(証明終)
以上で今回の記事は終わりにしたいと思います。今後も、このように勉強したことなどをまとめていきたいと思いますので、よろしくお願いします。
ブログ再開
お久しぶりです。最近になってこのブログを開設したことを思い出しました。
最初は勉強したことのアウトプットの場として始めたのですが、なかなか記事を書こうという気にならず、気づけば記憶の片隅に追いやっていましたね・・・・。前の更新が２０１５年ということもありかなり前なのですが、私は今も元気に生活しています。
このブログの開設当初、私は応用系の学部の学生だったのですが、現在は数学科の博士課程の学生で微分幾何学を専門にしています。せっかくブログがあることを思い出したのだから、これを機に勉強したことや普段の生活のことなどをポツポツと書いていこうと思います。
できれば週１で更新できればなーーと思っているので、よろしくお願いします。
PID上の加群
現在自分は数学の先生にお願いしてゼミをやってもらっています。
やってる内容はR-加群についてで、先日やっとPID上の加群まで辿りつけました。
やった内容を少しここに記しておきたいと思います。
Theorem
DをPIDとしたとき有限階数D-自由加群の任意の部分加群はD-自由である。
方針としてはAを有限階数D-自由加群としてそこから任意に部分加群Bをとり、Aの階数に関する帰納法によります。もう少し具体的にはBに対し適当なイデアルを指定してやり、どうにかしてBを自由な加群と同型になるようにするというのが方針であります。
ここで自分が驚いたのがイデアルの取り方であり、n=1のときは
n-1まで成り立つときには
とするのであるが、この取り方はなかなか思いつかないと思いました。
この後としてはDがPIDより、これらSはDの1つの元dで生成され、d=0とd≠0とで場合分けするという感じです。個人的にはn-1まで成り立つ場合のd≠0の場合が難しかったような気がします。
また、もう少しでこの加群のゼミも一通り終わるのですがそれからはリー群に関する初歩的な内容のゼミをやって貰う予定です。
自分は将来リー群を用いた純粋数学の研究をやりたいと考えていますので、少し早いですが院試の２次試験対策も兼ねて少しやってもらおうかなと・・・・
ただ、自分は多様体の基礎すらわかっていない数弱なのでなかなか苦労しそうです。ただ数学は大好きですので、ゆっくりではありますがいろいろ知識をみにつけていきたいと考えています。
